Le blog du Barabel

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28 avr. 2010

Pi (Part 2)

Maintenant qu’on sait ce qu’est un nombre, on va essayer de voir pourquoi pi, et surtout, comment.

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05 fév. 2010

Pi (Part. 1)

Petite digression sur un nombre. 
Attention, il va y avoir peu de plus que des maths.

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03 déc. 2009

Chaque panne de plus est une panne de trop.

Une fois de plus, mon hébergeur n’a pas été à la hauteur de ce qu’on pourrait attendre : pendant 48 heures, le serveur hébergeant ce blog était hors-service.

J’ai pu avoir quelques détails sur les problèmes qui ont causé cette panne. Un ordinateur, comme tout, consomme et dégage de l’énergie pour fonctionner. Ainsi, il est branché sur l’alimentation électrique, et il dissipe de la chaleur comme résidu de l’énergie utilisée - mais non rentabilisée. Pour être un peu plus précis, un ordinateur est (essentiellement) un assemblage de circuits intégrés, qui fonctionnent de manière assez simple : on fournit de l’électricité (en général, un pole chargé à +6V, et un pole à -6V), et à chacun des circuits, la valeur (+ ou -) en sortie dépend des valeurs en entrée. Si ça fonctionnait de manière idéale, les circuits feraient office d’aiguillage, qui redirigent la tension électrique positive ou négative vers la sortie comme il se doit. Malheureusement, il se trouve que pour fonctionner, les circuits passent leur temps à charger et décharger des cellules. Lors d’une charge, la cellule passe de -6V à +6V, ce qui crée donc un courant positif; lors d’une décharge, les électrons vont de la masse (-6V) à la cellule, ce qui crée un courant négatif. Hors, c’est inévitable, qui dit courant dit effet Joule. Cet effet se passe lorsqu’un courant traverse une résistance : une puissance est dégagée, égale à la tension multipliée par l’intensitée, et donc égale à $R I^2$, où $R$ est l’impédance de la résistance et I l’intensité du courant. Cette puissance se dégage en rayonnement lumineux (dans le cas des ampoules électriques) ou thermique (le plus souvent). L’énergie étant une grandeur extensive (c’est à dire qu’elle s’additionne sans difficulté, que la somme de deux apports énergétiques est un apport énergétique de valeur égale à la somme des deux énergies fournies), lorsque la moitié des cellules d’un processeur passent de la valeur 0 à la valeur 1 (ou réciproquement), c’est autant d’énergie qui est dissipée. Et cette chaleur doit aller quelque part. Elle réchauffe donc tout d’abord le circuit intégré, puis progressivement l’air autour. Le problème est que, comme tout métal, lorsque la température est trop élevée, le circuit fond. Au revoir, processeur!

C’est pour cette raison qu’on installer des éléments de refroidissement dans les ordinateurs; je peux parier que si votre ordinateur fait du bruit en ce moment, c’est que vous l’entendez. Le plus souvent, les éléments de refroidissement sont des radiateurs (je reviendrai sur le terme plus tard) combinés à des ventilateurs. On trouve parfois uniquement du refroidissement passif (radiateurs suffisamment importants pour diffuser toute la chaleur), et chez les nerds voulant overclocker leur processeur[1], du watercooling. Ou simplement parce que c’est la classe, que ça marche vachement bien, et qu’on peut y mettre des produits phosphorescents pour briller dans le noir.

L’élément de refroidissement le plus courant reste la combinaison d’un radiateur avec un ventilateur. Le radiateur se charge de transférer la chaleur accumulée sur le processeur sur toute une surface métallique, au contact avec de l’air. La raison est simple : c’est dans l’air qu’on souhaite faire passer toute l’énergie dangereuse pour le processeur, que celui-ci n’a pas pu utiliser autrement qu’en effet Joule. Ainsi, les radiateurs se chargent de radier la chaleur par convection thermique. La quantité de chaleur échangée est donnée par la loi de Newton (une de plus!) $\Delta Q = h S (T_1 - T_2)$.

La quantité de chaleur échangée est donc proportionnelle à la surface d’échange et à la différence de température entre le radiateur et l’air, via une constante[2] de proportionnalité. On comprend intuitivement la première importance du ventilateur : pour que la chaleur puisse s’échapper du radiateur, il est nécessaire que la température de l’air soit basse. Le ventilateur ne diminuera pas la température de l’air à proximité du radiateur, mais fournira un afflux d’air ambiant à l’intérieur du boîtier, ce qui diminue la température. La seconde importance, et qui est de taille, est de modifier les conditions de pression de l’air au voisinage du radiateur. Et le coefficient h croit fortement avec la pression de l’air! Le ventilateur crée donc un courant d’air, qui fournit une pression apparente supérieure à la pression atmosphérique au niveau du radiateur, qui accroit ainsi h. Et comme la mécanique est bien faite, une bonne partie de la chaleur qui est passée dans l’air est évacuée ailleurs, ne modifiant donc que légèrement la différence de température.[3]

Pour ceux qui ont eu la flemme de lire tout ce baratin : pas de ventilateur, beaucoup moins de refroidissement.

Le ventilateur de mon hébergeur était encombré de poussières, cheveux, et autres horreurs qui trainent toujours dans une salle quand ce n’est pas une chambre blanche. Il a donc pris le parti de le démonter, le nettoyer - entrainant une coupure de service qui ne devait pas durer plus de cinq minutes à minuit, c’est à dire avec un impact négligeable - et le remettre en place.

Il se trouve que dans l’opération, une des encoches permettant de fixer le ventilateur à la carte mère s’est cassée. Le contact entre le ventilateur et le processeur est devenu ridiculement faible. De plus, ce boulet - qui lit à l’occasion ce blog - n’a pas rajouté de pâte thermique[4] à l’interface du radiateur et du processeur.

Fort heureusement, les cartes mères modernes mesurent en permanence la température du processeur, et coupent tout le courant si celle-ci devient dangereuse. Il est souvent possible de désactiver cette sécurité dans le BIOS, mais... comment dire... si on n’est pas surs de ce qu’on fait, c’est tout simplement bête. Le serveur a donc redémarré, mais à peine les services élémentaires en marche, s’éteignait tout aussi brûtalement.

La faute est aussi celle de l’éditeur - votre serviteur - qui n’a pas pensé à faire un plan de continuité d’activité en cas de défaillance de l’hébergeur du blog. J’y pense maintenant, promis. Il ne reste plus qu’à le réaliser.

Toutes mes excuses donc pour cette avalanche d’erreurs de débutants; je veillerai à l’avenir à ne plus les refaire (honteux et confus...).

Pour me faire pardonner, une photo des éléments fautifs, avantageusement remplacés par un ventirad Artic. Pas une bête de course, mais toujours mieux que le ventirad Intel de base... et le confort auditif de mon hébergeur m’importe peu. VentiRad démonté

Notes

[1] c’est à dire le faire tourner à une fréquence supérieure à ce qui est prévu à l’origine; on peut ainsi gagner quelques pourcents en capacité de calcul, mais les dégagements de chaleur n’en sont que plus élevés

[2] qui n’est pas universelle, ni même constante, d’où l’italique...

[3] C’est avec un grand plaisir que j’aurais fournis les équations permettant de calculer, en fonction du débit d’air, la pression ressentie, et donc le coefficient de proportionnalité h; on arrive malheureusement aux limites de ma science, n’ayant jamais vraiment maîtrisé la mécanique des fluides. Mais je laisse mes lecteurs doctes compléter cette faille. Une bonne référence peut me suffire, d’ailleurs...

[4] pâte thermique : une matière pâteuse fortement métallisée qui permet un bon contact entre processeur et radiateur. Pensez-y comme à un joint très conducteur

18 oct. 2009

Histoire de degrés

Parlons de degrés.

Il fait froid en Norvège. Pas juste au Nord du Nord de la Norvège, même dans les parties les plus méridionales.

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09 oct. 2009

Mangez des pommes!

Je relaie une information donnée par Troll.

Ulysse (INB n° 18) est un petit réacteur de recherche situé à Saclay et qui est actuellement en démantèlement.

La chute d’un avion sur Ulysse génère de façon très pénalisante une dose efficace totale (externe et surtout interne par inhalation prépondérante) inférieures à 0,0036 µSv, pour la population après 2 heures d’exposition à 500 m de l’installation.

Cette valeur est à comparer à l’exposition interne due à l’ingestion d’une banane de taille moyenne, égale à environ 0,12 µSV ; une banane de taille moyenne contient naturellement environ 160 mg de potassium dont 0,02 mg de potassium 40 responsable de la radioactivité naturelle de la banane : activité d’environ 20 Bq pour une banane de 200 g[1].

[2]

Notes

[1] Vous aurez remarqué que le Becquerel et le Sievert ne sont pas homogènes; et, effectivement, une clarification sur la dose reçue pendant une digestion de banane peut permettre une analyse plus poussée.

[2] Ce blog n’a pas de vocation politique, même si de temps à autre, quelques remarques peuvent m’échapper ("c’est sorti tout seul!").

09 sept. 2009

Vive le second principe!

On entend souvent dire du mal du second principe de la thermodynamique. Fous! ils ne savent pas que c’est le premier qui nous condamne...

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14 août 2009

De l'énergie

Ceux qui habitent en Europe auront constaté que les publicités pour les automobiles - toujours pas illégales, d’ailleurs, on considère que la voiture est moins dangereuse que le tabac - que les constructeurs indiquent les émissions de dioxyde de carbone (le fameux $CO_2$) au kilomètre.

Sur une voiture moderne, compter environ 150 grammes par kilomètre.

Quelques remarques explicatives tout d’abord. Le $CO_2$ est un gaz, mais ça ne l’empêche pas d’être pesant, comme à peu près n’importe quoi d’autre (quand je dis à peu près, c’est vraiment à très peu près. Seules certaines particules comme les photos n’ont pas de masse, donc au kilo, tout pèse). Si la question de l’émission de ce gaz par les voitures pose problème, c’est que les transports routiers constituent 60% des émissions mondiales. Passer donc de 200 g par kilomètre à 140 g par kilomètre constitue une diminution des émissions routières de 30%, et donc faire une réduction de 18% des émissions globales de $CO_2$. Réduction probablement insuffisante, mais assez conséquente si elle est maintenue sur la durée.

Maintenant, la vraie question à se poser, c’est : "qu’est-ce que ça veut dire, 150 g/km ?".

Effectivement, comme on pèse assez rarement des gaz, on n’a aucune notion de combien pèsent des émissions. Vous pouvez prendre des bouteilles "vides" sur votre dos, elles ne vous gêneront pas pour autant, puisque vous ne ferez pas d’effort pour les porter. Pourtant, comme tout le reste (ou presque, mais je ne vais pas revenir dessus), l’air des bouteilles a une masse, et donc un poids. (On peut discuter ce dernier point, mais là, je pense qu’une approximation newtonienne sera amplement suffisante).

Une molécule de $CO_2$ est constituée d’un atome de carbone et de deux autres d’oxygène. Cela fait donc une masse molaire de 44. 150 grammes de $CO_2$ correspondent donc (approximativement) à 3,4 moles, et donc, dans les conditions normales de température et de pression, à 76,4 litres de gaz.

Bon, donc là on commence à avoir une idée. 150 grammes du produit remplit environ 100 bouteilles de vin vides. Ca fait beaucoup à jeter au recyclage...

Maintenant, il nous faut avoir une idée de ce à quoi ça correspond. Une personne adulte - disons mâle - de 30 ans, pesant 75 kg, mesurant 1m80, et actif, consommera quotidiennement, selon la formule de Black et al, 11,86 Méga Joules par jour (environ 2837 kilo calories). Il se trouve que (grosso modo) toute son énergie provient de la combustion de sucre par de l’oxygène, réaction donnée par
$C_6H_{12}O_6 + 6 O_2 \rightarrow 6 CO_2 + 6 H_2O$

Cette réaction dégage une enthalpie libre de 2803 kJ/mol (comprendre : pour une mole de glucose en entrée, 2803 kJ sont libérés - ainsi que 6 moles de $CO_2$). En ramenant ça à notre consommation d’énergie quotidienne, on arrive à environ 4,23 moles de sucre (glucose) nécessaires; la production de $CO_2$ d’une personne "normale" est donc environ de 25,38 moles de $CO_2$, c’est à dire environ 568,5 litres.

Terminons le calcul : une journée de labeur habituelle correspond à la production de $CO_2$ d’une personne faisant 7,5 kilomètres dans son véhicule.

Moralité : si vous voulez prendre la voiture pour aller au travail et que vous voulez vous donner bonne conscience, il faudra faire un enfant de moins pour chaque 7,5 kilomètres quotidiens roulés. Si votre lieu de travail est à 7,5 km de chez vous, abstenez vous de faire 2 enfants; 15 km : 4 enfants de prévu de moins. La règle de trois fait parfois des merveilles...

Edit au 17/08/2009 Les machines de l’univers de Matrix utilisent uniquement le métabolisme humain pour produire de l’énergie. En admettant une population mondiale de 6 milliards d’habitants, cela donne une production énergétique de 71,16 Peta Joules par jour, soit l’équivalent d’une centrale de 824 Giga Watts. Une alternative viable au nucléaire?

10 août 2009

Par Jupiter! et par Bacchus!

Bacchus, dieu du vin et des orgies, Vénus, déesse de l’amour, et Jupiter, père des dieux et dieu du ciel, sont finalement les dieux de l’été (qui a dit "Sea, Sex and Sun?").

Ces trois compères partirent en voyage et se retrouvèrent au Liban, à Baalbeck - dans la Bekaa.

Les romains, épatés, construisirent en leur honneur des temples magnifiques - les plus grands temples de l’empire, qui était pourtant grand à l’époque (entre les premiers et 3èmes siècles). Et comme personne ne s’est amusé à re-déplacer des cailloux de milliers de tonnes après eux, il en reste aujourd’hui de belles ruines, toujours présentes pour nous rappeler que, finalement, on n’a rien inventé de neuf depuis les romains. A part peut-être la création de wikipedia, le reste de l’humanité n’a fait que régresser...

Mais à part ces considérations plutôt pessimistes, deux points de ma visite sur place ont muri, pour donner ces réflexions finalement assez décevantes, par rapport à des similarités plus frappantes évoquées précédemment.

De Bacchus à Marie-Madeleine

Les guides de Baalbeck se plaisent à raconter aux petits français qui passent dans le coin que le temple de Bacchus a servi de modèle à l’église de la Madeleine, jusque dans ces proportions.

Cette théorie est, il faut l’avouer,intrigante, et assez réaliste, quand on connait les deux bâtiments. Bien entendu, les colonnes de la Madeleinesont toutes moches, et on n’y trouve pas de représentation de Cléopâtre. Mais c’est un détail qu’on accorde sans difficulté.

Au niveau historique tout d’abord, le temple de Bacchus fait l’objet d’un premier ouvrage (s’entend : dans la littérature occidentale) en 1757, par l’anglais Robert Woods. La Madeleine a été construite en 1806 - ça concorde.

Deuxièmement, on repère 8 colonnes sur la façade, et environ deux fois plus sur les côtés. Check. Mais après tout, le Parthénon aussi...

Sur les détails, il y a plus de colonnes (54) autour de la Madeleine que pour le temple de Bacchus (36). De plus, les proportions ne sont pas du tout les mêmes : 39mx69mx19m (large, long, haut) pour Baalbeck, et 43mx108mx19.5m pour la Madeleine... Bref, la ressemblance est frappante, mais l’un n’a pas servi de modèle à l’autre.

Ah, oui, et le nombre d’or $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $ [1] n’apparait pas non plus dans les dimensions de ces bâtiments. Un mythe urbain de moins...

Que risquent les colonnes de Jupiter?

Baalbeck reçoit maintenant depuis dix ans un festival international de musique assez réputé, avec des musiciens de renom et de talent pour prolonger la tradition des bacchanales plusieurs fois millénaires. Cet été, Deep Purple était au rendez vous pour un concert - parait-il - déjanté. J’étais ce soir là à un autre concert et ne peux donc juger en connaissance, mais la réflexion m’est venue que faire des concerts de cette ampleur n’était peut être pas ce qu’il y avait de mieux pour les 6 dernières colonnes intactes du temple de Jupiter. Aussitôt, un plan machiavélique s’est formé dans mon esprit, pour produire un rapport montrant qu’un volume de basses supérieur à xx décibels, en plus de rendre sourds l’auditoire (finalement, c’est le problème de la responsabilité individuelle), pouvait faire s’effondrer ce prestigieux édifice.

Je brise le suspense dès à présent. Le concert s’est très bien passé, et personne n’y est mort enseveli sous des décombres de granite et de calcaire.

J’ai quand même effectué le calcul, afin de vérifier ma théorie. Quelqu’un qui a fait un minimum de physique dans sa vie - ou des maths très avancées, mais en général il a d’abord fait un peu de physique élémentaire - sait qu’un système oscillant possède une (ou des) fréquence(s) propre(s). L’exemple le plus connu est celui du pendule - simple ou non - qui oscille librement à la même fréquence, quel que soit l’angle de départ. L’équation qui régit un tel système est alors de la forme $\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \omega_0^2 \theta = 0 $ dans le cas d’un oscillateur parfait, ou alors $\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \omega_0^2 f(\theta) = 0 $ avec $ f(x) \sim x $ au voisinage de zéro. $\omega_0$ est la fréquence propre du système.

Si on force ce système à osciller (par exemple, on fait osciller le pendule à la main) celui-ci réagira différemment en fonction de la fréquence d’oscillation. En particulier, il se passe autour de la fréquence $\omega_0$ le phénomène de résonance, c’est à dire que les oscillations auront une amplitude plus grande que celles qui seront imposées par le système (pensez à une balançoire où vous donnez une certaine impulsion (régulière) et où les mouvements se font plus amples que ce que vous aviez anticipé).

Passons maintenant au calcul du mouvement en bonne et due forme. On considère un système <<une colonne>>. Cette colonne est composée de 3 blocs de granitecalcaire [merci à Sam], liés entre eux par une barre de fer de quarante centimètres de long sur dix centimètres de diamètre; cependant, en première approximation - qui sera suffisante au vu des résultats - il suffit de modéliser une colonne par un bloc monolithique de granite, sous forme d’un cylindre de révolution de 1,1m de rayon par 22m de hauteur. Le socle de la colonne est inamovible, parfaitement horizontal, et indéformable.

Deux forces s’appliquent à la colonne : le poids $\overrightarrow{P}$ qui s’applique au centre de gravité $G$ de la colonne, et la réaction du support $\overrightarrow{R}$Si la colonne est stabilisée celle-ci s’applique au centre de la surface de contact; sinon elle s’applique au point de contact unique de la base et du socle. Appliquons le principe fondamental de la dynamique, sous forme de moments, au point de contact (appelé ici $I_D$).

$\displaystyle M_{\overrightarrow{P}}^{I_D}+M_{\overrightarrow{R}}^{I_D} = \frac{d \overrightarrow{L_{I_D}}}{dt}$

Ce qui se réécrit, en projetant sur l’axe (y) et en remplaçant les quantités par ce qui va bien:

$\displaystyle J_{I_D} \frac{d^2 \theta}{d t^2} + GI_D mg \sin \theta = 0 $.

Pour les petits $\theta$ vous aurez tous reconnu une équation d’oscillations, dont la pulsation propre est $ \displaystyle \sqrt{\frac{GI_D mg}{J_{I_D}}} $.

En notant $r$ le rayon et $h$ la hauteur des cylindres, ça donne $GI_D = \sqrt{\frac{h^2}{4} + r^2}$ et $\displaystyle J_{I_{D}} = \frac{m}{4} (h^2 + 6 r^2)$ (par application du théorème de Huygens et de la formule du moment d’inertie d’un cylindre plein).

En appliquant ceci à une colonne de Jupiter (granite de masse volumique environ égale à  $2600 kg \cdot m^{-3} $), on obtient $\omega_0 \approx 0.94 s^{-1} $ soit un SI naturel baissé de 8 octaves. Vu les approximations effectuées, on peut oublier le SI et dire que la gamme baissée de 8 octaves est à bannir du site. Pour info, ça fait des notes très, très basses, et on peut supposer que on n’y est pas encore pour ne pas avoir besoin de rentrer dans les détails de comment le site se détruit.

En allant (juste un peu plus loin) on constate que finalement, $\omega_0$ peut se réécrire sans faire intervenir la masse de la colonne, par homogénéité; et même, en écrivant $ h = \lambda r $, on obtient $ \displaystyle \omega_0 = \sqrt{g\frac{f(\lambda)}{r}}$ avec $\displaystyle f(t ) = \frac{4 \sqrt{ 1+\frac{t ^2}{4}} }{6 + t ^2 }$, qui se comporte comme $\frac{2}{t}$. Autrement dit, la fréquence propre d’une colonne se comporte comme (au premier ordre, pour les vraies colonnes, c’est à dire celles qui sont plus hautes que larges) $\sqrt{\frac{2g}{h}}$, et ce, indépendamment de leur masse et de leur rayon! En application numérique, on constate que les colonnes de 0.1mm de hauteur sont particulièrement sensibles à la fréquence de tonalité du téléphone...

Notes

[1] Vous aurez remarqué que maintenant, je peux insérer du \LaTeX dans mon blog! Par contre ça m’empêche d’utiliser d’autres commandes comme de faire des liens facilement vers des notes :-(

24 juil. 2009

Moi

Le principe de la protection de la vie privée est qu’il suffit de très peu d’information sur une personne pour le définir presque uniquement. Un petit calcul de coin de table confirme que par une indexation selon la méthode d’Aristote, c’est à dire en posant 33 questions simples (réponse par oui ou non), on peut isoler une personne avec certitude. (2^33 = 8589934592 soit plus que la population mondiale).

En Théorie de l’Information, on appelle ça l’entropie. Si on considère que chaque personne est unique, alors l’entropie de l’humanité est supérieure à 32 bits. Autrement dit, on ne peut pas utiliser de partition FAT32 pour coder l’ensemble des personnes. Mais je m’éloigne. Pour ceux que ça intéresse, l’entropie de théorie de l’information (entropie de Claude Shannon) est liée mathématiquement à l’entropie thermodynamique (vous savez, celle qui ne fait qu’augmenter par deuxième principe), mais alors que c’est la température qui est la grandeur mesurable dans le deuxième cas, dans le premier c’est plus difficile à mesurer.

Enfin bon, à chaque nouveau message, je diffuse une partie de bit d’entropie, c’est à dire la réponse à la question "est-ce que ce sujet m’intéresse". Comme la réponse n’est pas 50-50 sur l’ensemble de l’humanité, c’est une question plus discriminante que si c’était "est-ce que c’est une femme".

Bref, pour vos yeux ébahis, je révèle quelques bits de plus sur moâ, et je vous présente... ma photo!

Mon ombre