Dans un monde en deux dimensions, les grecs s’étaient entendu pour dire que la forme parfaite serait celle d’un cercle. Sur un cercle, en effet, pas de début, pas de fin. C’est pour cette raison que Merlin suggéra à Arthur cette forme pour que les chevaliers de l’Aventure du Graal soient tous au même niveau. Le cercle est une figure géométrique définie comme étant, dans un plan Euclidien, l’ensemble des points à égale distance d’un centre[1].

L’équation cartésienne d’un cercle de centre $O$ dans le plan s’écrit donc $OM=R$, soit encore:

$\frac{(x_M-x_O)^2+(y_M-y_O)^2}{R^2}=1$

Maintenant,on a une forme géométrique, super chouette, déterminée par un point dans le plan, et un rayon $R>0$. On a envie de savoir pas mal de choses:

  1. A rayon $R$ constant, quel est le meilleur centre possible pour un cercle?
  2. Est-ce que cette forme est intéressante d’un point de vue pratique? Je veux dire, on a les triangles, les carrés, les pentagones, et j’en passe et de meilleurs...
  3. Si on me propose une maison carrée, de côté $R$, ou ronde, de rayon $R$, qu’est-ce que j’ai intérêt à choisir?

Je sais bien que l’idée de "meilleur" n’a pas vraiment de sens en sciences. Un scientifique définit une fonction et cherche à en déterminer un extremum. Si vous voulez que je vous définisse les fonctions en question, je peux, mais permettez moi de vous dire, vous pinaillez!

La réponse à la question 1 est facile. Tous les cercles de même rayon sont isométriques, autrement dit, si on change de repère, on retrouve la même chose.

La question 2 est résolue depuis longtemps. Depuis l’invention de la roue, en fait.

La question 3 est également très classique. En effet, s’il est plus difficile de monter une étagère sur un arc de cercle, on a une superficie qui est certainement plus grande pour un cercle (un disque, c’est à dire un cercle plein) que pour un carré (avec la contrainte déployée)[2].

En fait, on constate que la surface d’un disque rapportée à la surface d’un carré dont le côté a pour longueur le rayon du disque, est une constante, qui tourne autour de 3[3]. Appelons, comme nos ancêtres avant nous, cette constante $\pi$ (lire "pi").

Comment calculer cette constante? Je vous propose de vous donner ici une formule facile pour calculer la valeur de $\pi$; on verra dans une troisième partie quels sont les algorithmes qui marchent bien pour ça.

Pour calculer une surface, l’outil privilégié est l’intégration. En effet, si on a une fonction $f$, alors l’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ mesure la surface de la portion du plan comprise entre les droites $x=a$, $x=b$, $y=0$ et la courbe $y=f(x)$.

Etant donné que tous les cercles de même rayon se valent, on va calculer la surface du cercle centré en l’origine du repère. Du coup, on va mesurer la surface du demi-cercle supérieur, et on va la doubler.

Il faut donc calculer l’intégrale: $\frac{S}{2}= \int_{-R}^{R}\sqrt{R^2 - t^2 }dt$ Le changement de variable $u=\frac{t}{R}$ permet de normaliser cette expression en: $S = 2 R^2 \int_{-1}^{1}\sqrt{1-u^2}du$

Ici, toute personne avec un peu de jugeote (et de connaissances en calcul) s’écrie : bon, sang, mais pourquoi ne pas poser $u=\cos(t)$ ! Ceci permet de terminer le calcul en

$S = 2 R^2 \int_{0}^{\pi}\sin^2(t) dt$;
$S = R^2 \int_{0}^{\pi}(\cos(2t)-1) dt = \pi R^2 $.

Oui, c’est très bien, ça marche.

Mais mon boulot était de chercher à montrer que la constante $\pi$ existe... bref, utiliser les fonctions trigonométriques - sans en dire plus, ne résout pas le problème.

On va donc faire autrement. en constatant la parité de la fonction à intégrer (ce qui signifie que le cercle est symétrique par rapport au diamètre vertical), on peut tout aussi bien calculer la surface en :
$S = 4 R^2 \int_{0}^{1}\sqrt{1-u^2}du = 4 R^2 \cdot I $

Avec ça, on peut maintenant faire le changement de variable $v=\sqrt{1-u^2}$, soit
$du=\frac{-vdv}{\sqrt{1-v^2}}$.

L’intégrale devient maintenant:

$I = \int_{0}^{1}\frac{v^2}{\sqrt{1-v^2}}dv$ donc
$I =- I + \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du $

Et là, on arrive à quelque chose! En effet, on obtient que $ I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du$ ce qui est une quantité tout à fait finie (je vous passe la preuve de cette affirmation). On n’a plus qu’à appeler $\pi = 2 \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du$ pour terminer notre démonstration.

En conclusion: Le rapport de la surface d’un cercle rapportée à celle d’un carré dont le côté est égal au rayon du cercle, est une constante, appelée $\pi$

Pour la petite histoire, on appelle couramment "ArcSinus" l’intégrale $\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du$. Et pour cause, c’est qu’en prenant son sinus, on retombe sur $x$... et bien sur, $arcsin(1)= \frac{\pi}{2}$.

Notes

[1] Plan Euclidien : l’espace géométrique infini, à deux dimensions, muni de la distance euclidienne correspondant au théorème de Pythagore.

[2] Si le carré est de côté le diamètre du cercle, alors le carré est "meilleur" que le cercle (en fait, le cercle tient alors dans le carré).

[3] Je sais qu’une constante ne tourne pas. Pas la peine de le signaler!