Explications physiques

Pourquoi est-ce que le changement d’axe de rotation de la Terre influerait sur la durée du jour?

La Terre, on l’a déjà vu auparavant, n’est pas tout à fait sphérique. Elle serait plutôt aplatie au niveau des pôles. Ce qui fait que la répartition de masse de la Terre n’est pas parfaitement symétrique autour du centre (et quand je parle de symétrie, je veux dire que la latitude, la longitude, et le rayon n’influent pas sur la masse élémentaire d’une portion de Terre).

De fait, son axe de rotation a tendance (c’est une loi de la physique tout à fait intuitive) à se placer de telle sorte que ce soit le moins couteux en termes d’énergie de faire tourner la Terre autour.

Oui, mais si une variation brutale de l’axe de rotation a lieu, alors la répartition des masses change de manière "significative". Et cela change une grandeur appelée Moment d’Inertie. Si on suppose que la Terre est un système isolé (c’est manifestement faux, puisque la durée du jour est influencée par les cycles des marées... mais je ne suis pas là pour faire des calculs complets, juste des calculs de coin de table!), alors son moment cinétique se conserve. C’est une des lois de la physique énoncées par Newton : un système qui est isolé de l’extérieur a un certain nombre de quantités qui se conservent : la masse, la quantité de mouvement, l’énergie, tout ça... (en fait, j’aurais juste pu dire l’énergie, ça résume pas mal de choses...)[1].

Le moment cinétique, dans le cas d’un système qui tourne autour d’un axe $\Delta$, s’écrit $\overrightarrow{L}_\Delta = J \overrightarrow{\omega} $, où $\overrightarrow{\omega} $ est la vitesse de rotation angulaire (sous forme vectorielle) du système, c’est à dire le nombre de cycles par seconde, orienté pour indiquer si on tourne vers l’est ou vers l’ouest. $J$ est ce qu’on appelle le moment d’inertie.

Effets de la modification de l’axe.

Vous voyez où je veux en venir. Si le système change tout seul d’orientation, alors le moment d’inertie sera modifié. Et, en conséquence directe, la vitesse de rotation sera altérée.

Bien entendu, ce raisonnement est bancal. En effet, si le système est conservé, alors la direction de rotation se conserve aussi. Pour être un peu plus rigoureux, il faut alors admettre que le système {Terre} n’est pas un système fermé; la Terre est en interaction directe avec la Lune, le Soleil, et, bien sur, les autres planètes, bien que leur influence soit moindre. Il faut, pour s’en sortir, faire un modèle de petites perturbations. On suppose de manière tout à fait hypocrite que les petites perturbations peuvent arriver à la planète, mais que, pour autant, les quantités $J$ et $\overrightarrow{\omega} $ ne dépendent que de la planète. C’est visiblement faux : la répartition des masses terrestres dépend des marées - donc, de la Lune, et l’angle de rotation sur elle même est lié à la direction de sa révolution autour du Soleil.

Un passage obligé

Le calcul extrêmement compliqué.

Bref, ces raccourcis mis de côté, on peut passer au calcul. Pour simplifier les calculs qui vont suivre, on va supposer que la densité de matière est uniforme (la masse volumique est constante en tout point du solide. Cette hypothèse est bien sure fausse, mais on peut considérer que la plus grande partie de la masse terrestre se trouve dans son noyau - c’est du Fer - et que, après tout, si je suis capable de faire le calcul une fois avec une masse volumique constante, je dois bien y arriver avec une masse volumique variable, avec une masse volumique qui serait affine par morceaux. La répartition des masses ressemblerait à ça:

Masse Volumique de la Terre

Calculons d’abord le moment d’inertie d’un Ellipsoïde de révolution par rapport à son axe de révolution. L’équation du solide s’écrit $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} \leq 1$. Le moment d’inertie par rapport à un axe $\Delta$ se calcule comme $J_\Delta=\int_V \rho(M)d(M,\Delta) dM $. Pour résoudre cette intégrale, soit on fait les calculs en coordonnées cartésiennes - ça se fait très bien - soit on passe en coordonnées cylindriques, soit polaires. Rassurez vous, dans tous les cas, ça donne le même résultat. Je détaille dans le cas des coordonnées sphériques.

Pour passer en coordonnées sphériques, on souhaite remplacer les coordonnées $(x,y,z)$ par $(r, \theta, \phi)$ où $r$ est la distance au centre, $\theta$ la colatitude, et $\phi$ la longitude du point. Dans le cas de l’ellipsoïde, on va commencer par se ramener à une boule euclidienne standard, par le changement de variable $\Phi(x,y,z) = (\frac{x}{a}, \frac{y}{a}, \frac{z}{b})$ de telle sorte que l’équation du solide devienne simplement $||\Phi(x,y,z)||_2 \leq 1$, c’est à dire une boule euclidienne. En composant ce changement de variable avec le changement de variable pour les coordonnées sphériques, on obtient alors des belles coordonnées! Le jacobien de cette transformation est alors $a^2 b r \sin \theta$. [2]

Il reste à constater que la distance (au carré) d’un point par rapport à $\Delta$ s’écrit ici $x^2 + y^2$, c’est à dire $a^2 r^2 \sin^2 \theta$ pour terminer le changement de variable: 

$J_\Delta = \int_0^1 \int_0^\pi \int_0^{2\pi}\rho a^2 r^2 sin^2\theta (a^2 b r \sin \theta) d\phi d\theta dr$

 L’intégrale $\int_0^\pi sin^3 \theta d\theta$ donne $\frac{4}{3}$ par la linéarisation $\sin^3 x = \frac{3}{4} \sin x - \frac{1}{4}\sin 3x$. Les autres intégrales sont faciles. En remplaçant la masse du solide $M=\frac{4}{3}\pi a^2b$ dans l’expression, on obtient alors simplement: $J_0 = \frac{2}{5} M a^2$.

C’est, vous l’aurez bien sur constaté, la même expression que le moment d’inertie d’une sphère... on retombe donc sur nos pattes!

Il est également facile de calculer (par cette méthode) le moment d’inertie par rapport à un des autres axes principaux (un axe passant par le centre de la Terre et un point quelconque de l’équateur. C’est alors $J_1 = \frac{1}{5} M a^ 2(a^2+b^2)$[3].

Calculons le moment d’inertie d’un Ellipsoïde de révolution par rapport à un axe, qui passe par le centre du solide, sans être un des axes principaux.[4] Si ce n’est pas clair vous pouvez aussi vous référer au schéma qui viendra certainement quand j’aurai le temps de le faire.

Là, c’est magique. En trois calculs, on a précédemment exprimé la matrice complète de l’opérateur linéaire d’inertie de l’ellipsoïde, ce qui signifie que le moment d’inertie par rapport à un axe $\Delta_\alpha$ indexé par l’angle $\alpha$ qu’il fait avec les pôles, se fait par une (très!) simple multiplication matricielle (de changement de base):

$J(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & -\sin \alpha \\0 & 0 & 0 \\sin\alpha & 0 & \cos \alpha\end{pmatrix} \begin{pmatrix} J_1 & 0 & 0\\ 0 & J_1 & 0\\ 0 & 0 & J_0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\0 & 0 & 0 \\-sin\alpha & 0 & \cos \alpha\end{pmatrix}$

Que l’on projette sur l’axe $\Delta_\alpha$ pour obtenir $J(\alpha)=\frac{1}{5}M (a^2(1+\cos^2\alpha)+b^2 \sin^2 \alpha)$.

On constate donc que l’intuition était la bonne! étant donné que $a>b$ (la Terre est aplatie), les moments $\alpha=0$ et $\alpha=\pi$ sont les moments les plus élevés, donc ceux qui font les jours les plus longs! Allons plus loin. L’axe de rotation aurait été modifié de 2.7 milliarcsecondes[5], et 2.7 milliarcsecondes valent $\frac{2.7}{6.48} 10^{-8}\pi$ radians (environ $1.31 \cdot 10^{-8}$), soit un nombre tout-tout-tout petit. On peut alors, sans vergogne, utiliser l’approximation du second ordre[6] $\sin \alpha \approx \alpha$ et $\cos \alpha \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}$.

On déduit alors que le moment d’inertie de la Terre se modifie, autour de la position d’équilibre, en $J(\alpha) \approx J_0 - \frac{\alpha^2M}{5}(a^2-b^2)$.

La variation relative est alors de $\frac{\alpha^2}{2}(1-\frac{b^2}{a^2}$, soit, en valeur numérique, environ $5.64 \cdot 10^{-11}$. En rapportant ça à un jour (qui fait environ 86400 secondes) on obtient une variation de jour de$4.87 \cdot 10^{-6}$, c’est à dire environ 250 fois moins que la valeur annoncée par nos amis de la NASA.

Je dois donc en déduire que je suis plus bête qu’un ingénieur américain, ou qu’un certain nombre de facteurs non négligeables - voire un nombre non négligeables de facteurs - m’a échappé...

Notes

[1] Si vous ne sautez pas au plafond en lisant que "la Terre est un système isolé", c’est assez grave... mais en fait, les forces les plus significatives qui sont appliquées à la Terre sont des forces qui s’appliquent (encore une fois, un raccourcis) en un point qui est le centre de la Terre... donc qui n’altèrent pas sa rotation sur elle-même.

[2] Jacobien qui, vous l’aurez constaté, s’annule sur tout l’axe de révolution. Ce n’est pas dramatique, puisqu’en fait, les intégrales convergent, et ça n’a jamais arrêté un physicien pour faire un changement de variable qui va bien...

[3] Je vous passe cette fois-ci le calcul. La plus grande difficulté (c’est dire!) consiste à écrire la distance carrée à l’axe comme étant $x^2 + z^2$ et remplacer alors les coordonnées par le changement de variable sphérique... une tranche de gâteau!

[4] Du charabia, tout ça? Mais non! Ellipsoïde de révolution : un solide dont toute section par rapport à un plan est une ellipse, et qui possède une symétrie de révolution par rapport à un axe. Axe principal : ok c’est plus compliqué. En gros, c’est les axes pour lesquels il est plus "facile" de décrire le système.

[5] où on constate que, les journalistes ne comprenant pas ce dont il s’agit ici, reprennent l’information la moins précise proposée par les auteurs de l’information, c’est à dire 8 centimètres... 8 centimètres de quoi, exactement???

[6] le premier ordre ne donne rien, en fait, il faut donc chercher le second