Un jour, un enseignant m’a dit "il y a un nombre, qu’on appelle ’’Pi’’, et qui vaut environ 3,14".

Un tel ramassis de raccourcis est à la limite du supportable pour qui cherche la vérité.

Déjà, qu’est-ce qu’un nombre?

On peut s’entendre sur l’existence d’un ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels. Les axiomes de Péano suffisent à ça (il existe un ensemble infini, qui a un plus petit élément qui s’appelle zéro, où tout nombre a un successeur, et où toute partie a un plus petit élément), et on peut également s’amuser à le construire à partir de la théorie des ensembles: zéro est défini comme l’ensemble vide $0 = \emptyset$, un comme l’ensemble contenant l’ensemble vide; et de manière générale, $n+1 = \{ \emptyset , n \} $ implémente de manière totalement inefficace les entiers naturels.

Bien sur, on peut ajouter à $\mathbb{N}$ une opération qu’on appelle l’ordre : $n<m$ si et seulement si $m$  est le résultat de l’itération de l’opération successeur un certain nombre (i.e. $n-m$) de fois[1].

Une fois définis les naturels, on crée sans difficulté les entiers relatifs  $\mathbb{Z}$. Si un entier naturel $n$ est différent de zéro, alors il a un opposé $-n$. L’ordre s’étend naturellement : $-n<-m$ si et seulement si $m<n$, et tous les "négatifs" sont plus petits que les "positifs".

$\mathbb{Z}$ est alors ce qu’on appelle un anneau : on peut y mettre une addition, et une multiplication, de telle sorte que tous les éléments ont un opposé, et que, quoi qu’on fasse, on reste dans l’ensemble après avoir fait des opérations d’addition et de multiplications (et d’inversion de l’addition).

Oui, mais on aimerait bien inverser aussi la multiplication. Sauf que ce n’est pas possible tel quel; d’une part, zéro n’a pas d’inverse (tu ne diviseras pas par zéro); d’autre part, inverser une multiplication (diviser, quoi) ne garantit pas de rester dans $\mathbb{Z}$.

On crée donc le corps des fractions basé sur $\mathbb{Z}$, qu’on appelle $\mathbb{Q}$. Et là, c’est super, maintenant qu’on a un corps, on peut faire plein de choses qu’on ne pouvait pas faire avant, des espaces vectoriels, des pivots de Gauss, des factorisations uniques de polynômes... Ce qui est chouette, c’est qu’on a toujours un ordre, en plus. $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ si et seulement si $a d < b c$ avec bien sur la convention $b,d > 0$.

La notion de suite est alors déterminante. Si on prend un ensemble d’éléments d’un des ensemble qu’on a cité, ça crée une suite. On aime bien savoir ce que devient une suite à l’infini (cherchez pas, c’est une perversion de matheux que d’essayer de savoir ce qui se passe à l’infini); et on aime tout particulièrement 3 comportements:

  • La suite tend vers l’infini. Dans ce cas, on ne pourra jamais trouver de plus grand élément à la suite, mais surtout, aussi loin qu’on aille chercher, aussi haut qu’on pourra chercher, la suite dépassera (pour toujours!) tous les seuils qu’on fixera.

  • La suite tend vers l’infini, mais en négatif. Ceux qui auront suivi auront remarqué que ce n’est pas possible pour $\mathbb{N}$...

  • La suite tend vers une valeur finie. Dans ce cas, aussi près qu’on aille chercher de cette valeur (la limite), on est certains que la suite restera dans l’intervalle de proximité de la limite, à partir d’un certain rang.

Ok. Après ça, on fait plein de manipulations hasardeuses, et on se rend compte que:

  • Dans $\mathbb{N}$, les suites convergentes (qui ont une limite finie) sont stationnaires (elles gardent la même valeur jusqu’à la fin des temps, à partir d’un certain rang).

  • Dans $\mathbb{Z}$, ben c’est pareil. Dans ces deux cas, la limite appartient forcément aux ensembles qui nous intéressaient.

  • Dans $\mathbb{Q}$, ce n’est plus le cas! il y a des suites qui convergent, on en est intimement convaincus, mais vers aucun élément de l’ensemble!

Qu’à cela ne tienne, on crée alors un ensemble plus grand que $\mathbb{Q}$, qu’on appelle l’ensemble des nombres réels[2], et qu’on note $\mathbb{R}$. Je (ne) vous passe (pas) les commentaires habituels : l’ordre s’étend naturellement, on a toujours une addition, une multiplication, bref, c’est un corps, et en plus, il est complet (toutes les suites de Cauchy convergent dans le corps même).

On a l’habitude de parler des nombres comme des éléments de l’ensemble des nombres réels.

Suite au prochain épisode...


[1]Les puristes auront constaté que < ne désigne usuellement pas un ordre puisque ce n’est pas une relation symétrique. M’en fiche, j’écris mes symboles comme il me plait.

[2]ce qui est absurde. Les nombres réels sont les nombres qui ne le sont pas du tout, montrez moi réellement $\pi$ et on en reparlera