Je suis aujourd’hui à 60°52’’ au Nord du globe. Nous sommes en octobre, donc à la limite (dépassée) de la péremption de l’été. Il va faire bien plus froid plus tard, mais aujourd’hui, la température dépasse difficilement les 5°. D’où l’envie de faire un calcul trouvant la corrélation entre degré et degré. Que ne ferait-on pas pour un mauvais jeu de mots...

Si on oublie les productions énergétiques terrestres (conduction/convection/rayonnement du noyau terrestre, production d’énergie thermique hydraulique et nucléaire), l’énergie que reçoit la Terre provient uniquement d’origine extra-terrestre, et, dans une immense majorité, du rayonnement Solaire.

Si l’on se place à l’équinoxe (c’est plus facile) les rayons solaires arrivant sur la terre sont tous parallèles aux parallèles (un de plus!), c’est à dire aux lignes de niveau des latitudes. Si on considère que la Terre est sphérique (il s’agit en fait d’un ellipsoïde de révolution en deuxième approximation), et que l’atmosphère a la même épaisseur en tout point de la surface terrestre (là je n’ai aucune idée de la véracité de l’hypothèse, mais on peut supposer que l’atmosphère se comporte de la même manière que la surface terrestre). Ceci veut dire que l’atmosphère est un anneau sphérique d’épaisseur constante $\lambda_A$. Tous les rayons étant parallèles, ils ne traversent pas la même épaisseur d’atmosphère en fonction de la latitude; ils traversent une épaisseur de $Dx(\theta, \varphi)$ où $\varphi$ désigne la latitude (nulle en l’équateur, égale à +/- 90° aux pôles) et $\theta$ la longitude du soleil par rapport au point observé (à midi, la longitude est nulle, à l’aube, -90°, à midi, +90°).

Un rayon de soleil traversant l’atmosphère, alors que le Soleil se situe selon une longitude de $\theta$, s’écrit alors:

$Dx(\theta, \varphi) = \sqrt{R_{a}^2 - R_{t}^2 + R_{t}^2\cos ^{2}\theta\cos ^{2}\varphi}-R_t\cos\theta\cos\varphi$.

Le bilan radiatif de la Terre est relativement bien connu (vous savez, les études du GIEC qui cherchent à savoir combien d’énergie on rejette, et combien on garde pour nous...). La conclusion actuelle est que la Terre accumule de l’énergie. Ceci dit, ce qui nous intéresse, en oubliant les flux globaux, c’est le comportement local. Un flux radiatif d’énergie arrive à l’atmosphère, la traverse, ce qui atténue l’intensité du flux, puis arrive à la Terre. Celle-ci en absorbe une partie, en rejette une partie (par réflexion et/ou radiation), et, au bout du compte, chaque zone locale reçoit une certaine dose d’énergie. Bien entendu, les périodes de jour et de nuit font que l’énergie accumulée pendant la journée est vidée pendant la nuit (c’est pour ça qu’il fait froid à 5 heures du matin). Au final, on peut alors considérer que la loi de Beer-Lambert s’applique, et que l’intensité arrivant en un point de la surface terrestre est égale à:

$I = I_0 e^{-\alpha Dx}$ où $\alpha$ est un coefficient d’absorption homogène à l’inverse d’une distance.

Comme précisé un paragraphe plus haut, l’épaisseur traversée dépend de la latitude du point, et de la longitude du soleil par rapport à ce point. L’énergie reçue pendant une période donnée est alors l’intégrale de la puissance reçue pendant tout ce temps, et dépend donc de la longueur de la journée, ce qui dépend des positions relatives du Soleil et de la Terre, ainsi que de la latitude du lieu qui nous intéresse. L’équation suivante résume ceci:

$\Delta Q = \int_{t=matin}^{soir} Puiss(t) dt$.

D’une part, la puissance dépend uniquement de $\varphi$ et $\theta(t)$, et d’autre part, $\theta(t)$ est directement affine dans le temps. En réutilisant la loi de Beer-Lambert, on arrive alors à l’équation:

$\Delta Q = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \exp \left [ -\alpha (\sqrt{ R_a^{2} - R_t^{2} + R_t^{2}\cos^{2}\theta\cos^{2}\varphi}-R_t\cos\theta\cos\varphi \right ] d\theta$

Tout ceci est très impressionnant et (presque) rigoureux, maintenant, si on veut avoir un minimum d’espoir de s’en sortir, il est indispensable de mettre un peu d’ordre dans cette intégrale.

    * Tout d’abord, le coefficient $I_0$ est facile à calculer. Il s’agit de l’intensité reçue à l’arrivée à la surface terrestre (qui est égale à la puissance totale envoyée par le Soleil multipliée par la surface d’incidence de la Terre, divisée par $4\pi {UA}^2$ ($UA$ désigne l’unité astronomique, c’est à dire la distance de la Terre au Soleil).

    * Le coefficient $\alpha$ n’est pas très facile à calculer. En utilisant les données présentes sur Internet vis à vis de l’énergie solaire, on doit cependant être capable de s’en sortir.

    * $R_a = R_t + \lambda_a$ est le rayon de l’atmosphère, et il est presque égal au rayon terrestre. En particulier, on peut « nettoyer » l’intégrale

      en transformant $Dx(\theta, \varphi)$ en $\frac{\lambda_a}{(\cos \theta \cos \varphi)^2}$

L’intégrale à calculer devient alors $\Delta Q \approx 2I_0 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \exp \left [ -\frac{\alpha \lambda_a}{(\cos \theta \cos \varphi)^2} \right ]d\theta$.
On peut chercher à aller plus loin... mais mes calculs s’arrêtent là. Cette intégrale n’est en effet pas facile à résoudre, il s’agit d’une intégrale spéciale. J’appelle mes lecteurs mathématiciens à me corriger pour les approximations qui vont suivre afin d’avoir quelque chose d’un peu plus fidèle à la réalité du calcul par la suite.
La fonction à intégrer prend comme valeur en 0 $f(\varphi)=\exp\left [-\frac{\lambda_a \alpha}{\cos ^{2} \varphi} \right]$, puis décroît assez rapidement vers 0. Je vais donc considérer que l’intégrale finale est égale à $\Delta Q = 2 I_0 c \exp\left [-\frac{\lambda_a \alpha}{\cos ^{2} \varphi} \right]$, où $c$ est une constante de plus. Après tout, on n’est plus à ça près.

Il nous reste à considérer que localement, l’air se comporte comme un gaz à volume constant; la température et les flux d’énergie sont directement reliés par l’équation $\Delta Q = n C_V \Delta T$. Les valeurs de $n$ et $C_V$ n’ont finalement plus d’importance, vu l’apparition de constantes dans les calculs précédents. Cependant, on peut terminer le calcul par :
$\Delta T = K \exp\left [-\frac{A}{\cos ^{2} \varphi} \right]$, variation de température en une journée, à l’équinoxe. Cette approximation n’est bien sur acceptable que si on n’est pas tout à fait situés aux pôles; mais aux pôles ($cos \varphi \approx 0$) l’apport de chaleur par énergie solaire est connu, et égal à $\Delta Q \approx 2 \pi I_0 \exp(-\alpha\lambda_a \sqrt{\frac{2R_t}{\lambda_a}})$.
Ceci permet d’ailleurs de déterminer la limite de l’approximation. Etant donné que $\Delta T$ est décroissant avec l’angle $\varphi$, l’approximation n’a plus beaucoup de sens à partir de la latitude $\varphi$ arrivant à $\cos \varphi = \frac{\lambda_a}{2R_t}$, c’est à dire environ 68°... Et on obtient, surprise, environ la latitude des cercles polaires! Ce que j’en déduis : que mon approximation $\Delta T = k f(\varphi)$, où $k$ est une constante de proportionnalité, est à peu près correcte pour les "basses" latitudes, puis qu’on atteint assez rapidement une valeur plancher au niveau des pôles.

Une image pour terminer, et féliciter ceux qui ont lu jusqu’au bout. En Norvège, au mois d’octobre, le Soleil met assez longtemps à se lever, et se coucher. Ce qui permet de profiter de longs et beaux paysages. Je n’ai pu vous trouver de meilleur paysage que celui-ci depuis la ville de Gjøvik, mais ceci devrait vous permettre de rêver un peu quand même!